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# Repaso teórico del libro de Stoica para los algoritmos de estimación de orden
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# Marco teórico para el desarrollo del estimador de orden
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Para comenzar lo que hacemos es plantear el modelo que estamos proponiendo para las señales que estamos midiendo. Estamos proponiendo que las señales son de la forma:
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$$
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Y_j = \sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right] + \varepsilon_j
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$$
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Donde se tiene que:
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- $M_j$ representa la muestra $j$ del vector de las muestras tomadas de la señal de interés.
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- La constante $\alpha_i$ es la amplitud del coseno $i$ que compone a la señal.
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- La constante $w_i$ es la frecuencia del coseno $i$ que compone a la señal.
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- La constante $\phi_i$ es la fase del coseno $i$ que compone a la señal.
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- $\varepsilon_j$ es el error gaussiano que esta presente en la muestra $j$ del vector de muestras.
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En el modelo que estamos proponiendo para los vectores muestreados que la función es la suma de una cantidad indefinida de cosenos, en donde cada uno tiene su amplitud, su frecuencia y su fase, y la suma de ruido gaussiano. Planteando esto podemos plantear la distribución de cada uno de los puntos del vector. Planteando esto obtenemos que:
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$$
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Y_j \sim N\left(\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\hbox{ }, \sigma² \right)
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$$
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Entonces la función objetivo a maximizar es de la forma:
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$$\Large
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T
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= \prod_{j=i}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}}
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$$
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$$\Large
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T
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= \left(\frac{1}{2\pi\sigma}\right)^{\frac{n}{2}} \prod_{j=i}^{n} e^{-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}}
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$$
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$$\Large
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T
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= \left(\frac{1}{2\pi\sigma}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\sum_{j=i}^{n}\left[-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}\right]}
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$$$$
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ln(T) = -\frac{n}{2}ln(2\pi\sigma) -\frac{1}{2} \sum_{j=i}^{n}\left[ \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}\right]
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$$
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ESto es para estimar los valores de alfa, omega y fi para N conocido
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# Explicación del estimador de orden |