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Repaso teórico del libro de Stoica para los algoritmos de estimación de orden
Marco teórico para el desarrollo del estimador de orden
Para comenzar lo que hacemos es plantear el modelo que estamos proponiendo para las señales que estamos midiendo. Estamos proponiendo que las señales son de la forma:
Y_j = \sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right] + \varepsilon_j
Donde se tiene que:
- M_j representa la muestra j del vector de las muestras tomadas de la señal de interés.
- La constante \alpha_i es la amplitud del coseno i que compone a la señal.
- La constante w_i es la frecuencia del coseno i que compone a la señal.
- La constante \phi_i es la fase del coseno i que compone a la señal.
- \varepsilon_j es el error gaussiano que esta presente en la muestra j del vector de muestras.
En el modelo que estamos proponiendo para los vectores muestreados que la función es la suma de una cantidad indefinida de cosenos, en donde cada uno tiene su amplitud, su frecuencia y su fase, y la suma de ruido gaussiano. Planteando esto podemos plantear la distribución de cada uno de los puntos del vector. Planteando esto obtenemos que:
Y_j \sim N\left(\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\hbox{ }, \sigma² \right)
Entonces la función objetivo a maximizar es de la forma:
\Large
T
= \prod_{j=i}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}}
\Large
T
= \left(\frac{1}{2\pi\sigma}\right)^{\frac{n}{2}} \prod_{j=i}^{n} e^{-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}}
\Large
T
= \left(\frac{1}{2\pi\sigma}\right)^{\frac{n}{2}} e^{\sum_{j=i}^{n}\left[-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}\right]}
ln(T) = -\frac{n}{2}ln(2\pi\sigma) -\frac{1}{2} \sum_{j=i}^{n}\left[-\frac{1}{2} \frac{\left(y_j-\sum_{i=1}^{N}\left[ \alpha_i \hbox{ } cos(w_it_j + \phi_i) \right]\right)²}{\sigma²}\right]
# Explicación del estimador de orden